Voici les exercices pour le chapitre 0 : Cahier de vacances

Convertir dans l’unité de référence à l’aide des puissances de 10

• 5 nm = \(5 \times 10^{-9}\) m
• 8 μs = \(8 \times 10^{-6}\) s
• 9 kV = \(9 \times 10^{3}\) V
• 4,6 MW = \(4{,}6 \times 10^{6}\) W
• 7,1 mA = \(7{,}1 \times 10^{-3}\) A
• 0,50 hL = \(5{,}0 \times 10^{1}\) L
• 10 dg = \(10 \times 10^{-1}\) g
• 4 dam = \(4 \times 10^{1}\) m
• 6,85 cm = \(6{,}85 \times 10^{-2}\) m

Écrire en notation scientifique

• 0,073 = \(7{,}3 \times 10^{-2}\)
• 5 000 = \(5{,}0 \times 10^3\)
• 845 000 000 000 000 = \(8{,}45 \times 10^{14}\)
• 0,000 000 000 000 000 000 0034 = \(3{,}4 \times 10^{-21}\)
• 28 milliards = \(2{,}8 \times 10^{10}\)
• 6 millionièmes = \(6 \times 10^{-6}\)
• 6 500.10³ = \(6{,}5 \times 10^6\)
• 0,034.10⁵ = \(3{,}4 \times 10^3\)
• 3 000 000.10⁻⁶ = \(3\)
• 0,000 059.10⁻⁴ = \(5{,}9 \times 10^{-9}\)

Indiquer le nombre de chiffres significatifs (CS)

• 1,29 × 10⁻⁴ : 3 CS
• 3,120 × 10³ : 4 CS
• 0,025 × 10⁻⁴ : 2 CS
• 500 : 3 CS

Le pourcentage massique \( P_m \) d’un constituant dans un mélange est donné par la formule :

\[ P_m(\text{espèce}) = \frac{m_{\text{espèce}}}{m_{\text{totale}}} \times 100 \]

Données :

• \( m_{\text{acier}} = 5{,}0\, \text{kg} = 5{,}0 \times 10^3\, \text{g} \)
• \( m_{\text{carbone}} = 105\, \text{g} \)

Donc : \[ P_m(\text{carbone}) = \frac{m_{\text{carbone}}}{m_{\text{acier}}} \times 100 = \frac{105\, \text{g}}{5{,}0 \times 10^3\, \text{g}} \times 100 = 2{,}1\,\% \]

Le pourcentage massique de carbone est de 2,1 %.

L’acier étant composé uniquement de fer et de carbone, les pourcentages massiques doivent totaliser 100 % :

\[ P_m(\text{fer}) = 100 - P_m(\text{carbone}) = 100 - 2{,}1 = 97{,}9\,\% \]

Le pourcentage massique de fer est de 97,9 %.

Soluté : le saccharose, car c’est la substance dissoute.
Solvant : l’eau (solution aqueuse = solution dont le solvant est l’eau).

Données :

• \( C_m = 90~\text{g} \cdot \text{L}^{-1} \)
• \( V = 200,0~\text{mL} = 0{,}200~\text{L} \)

Donc : \[ m = C_m \times V = 90~\text{g} \cdot \text{L}^{-1} \times 0{,}200~\text{L} = 18~\text{g} \]

Il faut prélever 18 g de saccharose.

Pour diminuer la concentration massique d’une solution, il faut la diluer, c’est-à-dire ajouter du solvant (ici, de l’eau).

On souhaite diviser la concentration par \( F = 10 \) et obtenir un volume final de \( V_{\text{fille}} = 200,0 ~\text{mL} \).
\[ F = \frac{V_{\text{fille}}}{V_{\text{mère}}} \quad \Rightarrow \quad V_{\text{mère}} = \frac{V_{\text{fille}}}{F} = \frac{200,0~\text{mL}}{10} = 20,0~\text{mL} \]

Il faut prélever 20 mL de sirop mère.

Protocole de dilution :

1. À l’aide de la pipette jaugée de 20,0 mL et de la poire à pipeter, prélever 20,0 mL de sirop mère.
2. Verser ce volume dans la fiole jaugée de 200 mL.
3. Compléter avec de l’eau distillée, à l’aide de la pissette, jusqu’au trait de jauge.
4. Boucher et agiter doucement pour homogénéiser.

\[ C_{m,\text{fille}} = \frac{C_{m,\text{mère}}}{F} = \frac{C_{m,\text{mère}}}{10} = \frac{90~\text{g} \cdot \text{L}^{-1}}{10} = 9,0~\text{g} \cdot \text{L}^{-1} \]

1) Graphique représentant la masse volumique en fonction de la concentration massique :

2) Données :

• Volume : \( V = 100{,}0\, \text{mL} = 0{,}1000\, \text{L} \)
• Masse : \( m = 101{,}2\, \text{g} \)

La masse volumique de la solution injectable est de \( 1012\, \text{g.L}^{-1} \).

À l’aide du graphique tracé à la question 1, on cherche la concentration massique \( C_m \) qui correspond à une masse volumique \( \rho = 1012\, \text{g.L}^{-1} \).

Par lecture graphique, cette valeur correspond à : \( C_m = 15\, \text{g.L}^{-1} \)

• \(\text{C}\) : Atome
• \(\text{O}_2\) : Molécule
• \(\text{NH}_4^+\) : Cation
• \(\text{Co}\) : Atome
• \(\text{CO}_3^{2-}\) : Anion
• \(\text{CO}_2\) : Molécule
• \(\text{Ca}^{2+}\) : Cation

• Des ions chlorure de formule : \(\text{Cl}^-\) et des ions argent de formule : \(\text{Ag}^+\)

  Formule : \(\text{AgCl}\)

  Nom : Chlorure d'argent

• Des ions sulfate de formule : \(\text{SO}_4^{2-}\) et des ions sodium de formule : \(\text{Na}^+\)

  Formule : \(\text{Na}_2\text{SO}_4\)

  Nom : Sulfate de sodium

• Des ions chlorure de formule : \(\text{Cl}^-\) et des ions fer III de formule : \(\text{Fe}^{3+}\)

  Formule : \(\text{Fe}^{3+} + 3 \text{Cl}^- \)

  Nom : Chlorure de fer(III)

• Des ions phosphate de formule : \(\text{PO}_4^{3-}\) et des ions magnésium de formule : \(\text{Mg}^{2+}\)

  Formule : \(2\text{PO}_4^{3-} + 3\text{Mg}^{2+}\)

  Nom : Phosphate de magnésium

1) Un atome de mercure composé de 202 nucléons dont 80 protons et 122 neutrons aini que 80 électrons car l'atome est électriquement neutre.

2) La masse \( m_C \) du cortège électronique est : \( m_C =Z \times m_e = 80 \times 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg} = 7.288 \times 10^{-29} \, \text{kg} \).

3) La masse \( m_N \) du noyau est : \(m_N = A \times m_{nucleon} = 202 \times 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg} = 3.3567 \times 10^{-25} \, \text{kg} \).

4) La masse du noyau est bien plus grande que celle du cortège électronique, montrant que la quasi-totalité de la masse de l'atome est concentrée dans le noyau. En effet, $ \dfrac{m_N}{m_C} \approx 4600 $

5) \( m_{goutte} = 14 \times m_{goutte_{eau}} = 490 mg \)
Le nombre d'atomes de mercure dans une goutte est : \( N_{Hg} = \dfrac{m_{goutte}}{m_{atome}} =\dfrac{0.49 \times 10^{-3} \, \text{kg}}{3.3567 \times 10^{-25} \, \text{kg}} \approx 1.46 \times 10^{21} \, \text{atomes} \) .

6) La quantité de matière est : \( n_{Hg}= \dfrac{N_{Hg}}{N_a} = \dfrac{1.46 \times 10^{21}}{6.02 \times 10^{23} \text{mol}^{-1}} \approx 2.43 \times 10^{-3} \, \text{mol} \).

L'écriture conventionnelle du noyau de cet atome est :

\[ {}_{4}^{9}\text{X} \]

Explication :

• Le nombre d'électrons est déterminé par la charge électrique du cortège électronique et la charge d'un électron : \( N_e = \dfrac{q_c}{e} = \dfrac{-6.4 \times 10^{-19} \, \text{C}}{-1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}} = 4 \).
• Un atome est électriquement neutre, donc le nombre de protons est égal au nombre d'électrons, soit 4.
• Le noyau contient un neutron de plus que de protons, donc le nombre de neutrons est \( n_n = 4 + 1 = 5 \).
• La notation conventionnelle du noyau est \( {}_{Z}^{A}\text{X} \), où \( Z \) est le nombre de protons et \( A \) est le nombre de masse. Donc, \( Z = 4 \) et \( A = 4 + 5 = 9 \).

1. a. L'atome avec la configuration électronique \(1s^{2} 2s^{2} 2p^{4}\) possède 6 électrons de valence.

   b. Cet élément se trouve dans la 2ème période et à la 16ème colonne du tableau périodique.

2. Un élément chimique dans la 3ème période et la 2ème colonne a la configuration électronique \(1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2}\) car l'élément est dans la troisième période donc 3 couches sont occupées et il est dans le deuxième colonne donc il possède deux électrons de valence.

1. La famille d'éléments de la dernière colonne est appelée les gaz nobles.

2. Le béryllium (Be) forme l'ion \(\text{Be}^{2+}\) ( on lui retire deux électrons pour qu'il aie la même configuration électronique que le gaz noble le plus proche dans le tableau) et le fluor (F) forme l'ion \(\text{F}^-\) ( on lui ajoute un électron pour qu'il aie la même configuration électronique que le gaz noble le plus proche dans le tableau).

1. Les deux lois de conservation sont la conservation de la masse et la conservation de la charge.

2. a. L'équation de la réaction de combustion du propane est : \(\text{C}_3\text{H}_8 + 5\text{O}_2 \rightarrow 3\text{CO}_2 + 4\text{H}_2\text{O}\).

   b. C'est une transformation exothermique.

3. Équations chimiques équilibrées :

   \(2\text{Fe}^{3+} + 6I^- \rightarrow 3 I_2 + 2\text{Fe}\)

   \(3\text{Cu}^{2+} + 2\text{Al} \rightarrow 3\text{Cu} + 2\text{Al}^{3+}\)

1. L'espèce spectatrice est le diazote (\(\text{N}_2\)).

2. Les réactifs de la transformation sont le dioxygène (\(\text{O}_2\)) et le glucose (\(\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6\)).

3. Les produits de la transformation sont le dioxyde de carbone (\(\text{CO}_2\)) et l'eau (\(\text{H}_2\text{O}\)).

4. L'équation de la réaction est : \(\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6 + 6\text{O}_2 \rightarrow 6\text{CO}_2 + 6\text{H}_2\text{O}\).

5. Pour déterminer qui est le réactif limitant, il faut diviser la quantité de matière initiale de chaque réactif par son nombre stoechiométrique puis ensuite comparer les résultats.

   Ici, $\dfrac{n_i(glucose)}{1} = \dfrac{4 mol}{1} = 4 mol $ et $\dfrac{n_i(dioxygène)}{6} = \dfrac{4 mol}{6} = 0.66 mol $

   On en déduit que : $ \dfrac{n_i(dioxygène)}{6} \lt \dfrac{n_i(glucose)}{1} $.

   Le réactif limitant est donc le dioxygène.

Exercice 16

1. Le système étudié est le dauphin.


2. Le dauphin est un système ponctuel car il va se résumer à un point, \( G \).


3. Le référentiel est le référentiel terrestre.


4. Le mouvement est parabolique car la trajectoire décrite par le dauphin est une parabole.
   Le mouvement est ralenti lors de la montée du dauphin car la distance entre deux points consécutifs diminue (la distance parcourue par le dauphin dans un même intervalle de temps, 100 ms, est de plus en plus courte).
   Le mouvement est accéléré lors de la descente du dauphin car la distance entre deux points consécutifs augmente (la distance parcourue par le dauphin dans un même intervalle de temps, 100 ms, est de plus en plus grande).


5. La vitesse instantanée au point \(G_4\) est à peu près égale à la vitesse moyenne entre la position précédente \( G_3 \) et la position suivante \( G_5 \).
   Je mesure donc la distance entre les points \( G_3 \) et \( G_5 \), je trouve 2,3 cm sur papier.
   En tenant compte de l’échelle, comme 1,0 cm sur papier correspond à 50 cm réels alors 2,3 cm sur papier correspondent à une distance réelle :
   \( G_3G_5 = \frac{50 \, \text{cm} \times 2{,}3 \, \text{cm}}{1{,}0 \, \text{cm}} = 115 \, \text{cm} \)
   Le dauphin a parcouru cette distance en une durée égale à deux fois 100 ms (100 ms pour aller de \(G_3\) à \(G_4\) et encore 100 ms pour aller de \(G_4\) à \(G_5\)).
   100 ms étant noté tau, τ, on a donc la vitesse instantanée au point 4 égale à :
   \(V_4 = \frac{G_3G_5}{2\tau} = \frac{115 \times 10^{-2}}{2 \times 100 \times 10^{-3}} \) !
6. L’expression vectorielle de la vitesse instantanée au point 4 s’écrit :
   \( \vec{v_4} = \frac{\vec{G_3G_5}}{2\tau} = \frac{1}{2\tau} \times \vec{G_3G_5}\)
   Les vecteurs \( \vec{v_4} \) et \( \vec{G_3G_5} \) sont colinéaires car \(\frac{1}{2\tau}\) est constant et de même sens car \(\frac{1}{2\tau} > 0 \).
   Ainsi, le vecteur \( \vec{v_4} \) a pour :
   • Point d’application : \( G_4 \)
   • Direction : parallèle à \( (G_3G_5) \), ou tangente à la trajectoire en \( G_4 \)
   • Sens : de \( G_3 \) vers \( G_5 \), dans le sens du mouvement
   • Norme : \( V_4 = 5.75 \, \text{m.s}^{-1} \)
7. Pour déterminer la longueur du vecteur \( \vec{v_4} \), notée \( l \), on fait un calcul d’échelle :
   
   \[ \frac{l}{1} = \frac{5.75}{2} \Rightarrow l = 2.875 \, \text{cm} \]
   
   Je trace donc à partir du point \( G_4 \), une flèche parallèle à \( (G_3G_5) \), de \( G_3 \) vers \( G_5 \), et de longueur 2.9 cm.

1. Système étudié : station ISS, modélisée par son centre d’inertie \( S \).
   Référentiel : géocentrique.
2. On note \( T \) le centre de la Terre, supposée sphérique.
   
   L’expression de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur la station est : \[ \vec{F}_{T/S} = - G \cdot \frac{m \cdot M}{(R + h)^2} \; \vec{u}_{T \to S} \] où \( \vec{u}_{T \to S} \) est un vecteur unitaire :
   • de direction : \( (TS) \)
   • de sens : de \( T \) vers \( S \)
   • de norme : \( u_{T \to S} = 1 \)

   Les vecteurs \( \vec{F}_{T/S} \) et \( \vec{u}_{T \to S} \) sont colinéaires car \( -G \dfrac{m\,M}{(R+h)^2} \) est constant, et ils sont de sens contraires car \( -G \dfrac{m\,M}{(R+h)^2} < 0 \).

   Ainsi, le vecteur \( \vec{F}_{T/S} \) a pour :
   • point d’application : \( S \)
   • direction : \( (TS) \)
   • sens : de \( S \) vers \( T \) (on dit aussi « centripète »)
   • norme :
   \[ F_{T/S} = G \cdot \frac{m \cdot M}{(R + h)^2} \cdot u_{T \to S} \] avec \( u_{T \to S} = 1 \), on a donc : \[ F_{T/S} = G \cdot \frac{m \cdot M}{(R + h)^2} \]

   Application numérique :

   \[ F_{T/S} = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} \times \frac{(435\times 10^{3}\,\text{kg})(5,98\times 10^{24}\,\text{kg})} {\left((6380+400)\times 10^{3}\,\text{m}\right)^2} \]
   Calcul : \[ F_{T/S} = 3,77 \times 10^{6} \; \text{N} \] (Le Newton, N, est équivalent à \( \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \))
3. Représenter sur un schéma, sans souci d’échelle :
   • la Terre, sphérique, de centre \( T \) et de masse \( M \) ;
   • la station \( S \), supposée ponctuelle, de masse \( m \) ;
   • la force gravitationnelle exercée par la Terre sur \( S \) (\( \vec{F}_{T/S} \)) dont les caractéristiques ont été données à la question précédente.

   

4. Le mouvement de la station est circulaire car la trajectoire décrite par \( S \) est un cercle. Il est aussi uniforme car l’énoncé précise que la vitesse est constante.
5. La première loi de Newton stipule : « Dans un référentiel galiléen, un système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme si et seulement si la résultante des forces extérieures est nulle. »
   Le référentiel géocentrique est supposé galiléen.
   Ici, le système a un mouvement circulaire uniforme, donc la résultante des forces n’est pas nulle. La 1^ère loi reste vérifiée dans le sens où la station est soumise à une seule force, la gravitation, non compensée par une autre.

Exercice 18

1. Système étudié : la voiture en panne, modélisée par son centre d’inertie \( G \).
   Référentiel : terrestre.
2. La voiture est soumise à quatre forces :
   • Poids, noté \( \vec{P} \) : force exercée à distance par la Terre.
     Direction : verticale
     Sens : vers le bas
   • Tension du câble, notée \( \vec{T} \) : force de contact exercée par le câble.
     Direction : selon l’axe du câble (ici horizontale)
     Sens : vers le point d’attache (ici vers la dépanneuse)
   • Réaction du support, notée \( \vec{R} \) : force de contact exercée par le sol.
     Direction : perpendiculaire au support (ici verticale)
     Sens : vers le haut
   • Force de frottement, notée \( \vec{f} \) : force de contact exercée par l’air et/ou un sol rugueux et s’opposant au mouvement
     Direction : celle du mouvement (ici horizontale)
     Sens : opposé au mouvement
3. Représenter sur un schéma (sans souci d’échelle) le point \( G \) et les quatre forces \( \vec{P}, \vec{T}, \vec{R}, \vec{f} \) :

   

4. Le mouvement de la voiture est rectiligne (déplacement en ligne droite) et uniforme (vitesse constante).
5. Principe d’inertie (1^ère loi de Newton) : « Dans un référentiel galiléen, un système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme si et seulement si la résultante des forces extérieures est nulle. »
   Ici, le mouvement est rectiligne uniforme, donc \[ \vec{P} + \vec{T} + \vec{R} + \vec{f} = \vec{0}. \] Remarque : sur le schéma, les vecteurs \( \vec{P} \) et \( \vec{R} \) doivent avoir la même norme (longueur) et des sens opposés ; de même pour \( \vec{T} \) et \( \vec{f} \).
6. À l’arrêt (voiture détachée de la dépanneuse) : la tension \( \vec{T} \) disparaît, et la force de frottement liée au mouvement \( \vec{f} \) disparaît également.
   Il ne reste plus que les forces verticales \( \vec{P} \) et \( \vec{R} \).
7. Le système est immobile : le principe d’inertie s’applique encore et \[ \vec{P} + \vec{R} = \vec{0}. \] Remarque : sur le schéma, \( \vec{P} \) et \( \vec{R} \) sont de même direction et de même norme (longueur), avec des sens opposés.

1. \( d = v_{\text{son air}} \times \Delta t_{\text{tonnerre}} = 340\ \text{m/s} \times 5{,}6\ \text{s} = 1\,904\ \text{m} = 1{,}9 \times 10^3\ \text{m} \) soit 1,9 km
2. \( \Delta t_{\text{éclair}} = \frac{d}{v_{\text{lumière air}}} = \frac{1{,}9 \times 10^3\ \text{m}}{3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}} = 6{,}3 \times 10^{-6}\ \text{s} \)
   La durée mise par la lumière émise par l’éclair pour atteindre les yeux de Max est proche de 0 s donc Max voit bien l’éclair quasi instantanément.
3. a) \( v_{\text{son air}} \ll v_{\text{son terre}} \) donc le son va plus vite dans la terre (un solide) que dans l’air.
   Max aurait bien entendu le son plus tôt s’il avait mis son oreille à même le sol.

   b) \( \Delta t_{\text{tonnerre sol}} = \frac{d}{v_{\text{son terre}}} = \frac{1{,}9 \times 10^3\ \text{m}}{4\,000\ \text{m/s}} = 0{,}47\ \text{s} \)

   Le son aurait mis 0,47 s pour parvenir à ses oreilles.

1. a) 1 division horizontalement vaut \( 2{,}0\ \text{ms} \).
   \( 4T_1 = 20\ \text{divisions} \times 2{,}0\ \text{ms} = 40\ \text{ms} \)
   \( T_1 = \frac{40\ \text{ms}}{4} = 10\ \text{ms} \)

   b) \( f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{10 \times 10^{-3}\ \text{s}} = 100\ \text{Hz} \)

2. Son le plus fort : signal avec l’amplitude la plus grande.
   Le signal avec l’amplitude la plus grande est le son 4.
3. Son le plus grave : fréquence la plus basse, donc période la plus grande.
   Le signal avec la période la plus grande est le son 3.
4. Sons avec la même hauteur : sons avec la même fréquence, donc même période.
   \( T_1 = T_4 \), donc les sons 1 et 4 ont la même hauteur.
5. Sons avec le même timbre : signaux avec la même forme.
   Les signaux 2 et 4 ont la même forme, donc les sons 2 et 4 ont le même timbre.
6. Le son 3 est un son pur car son signal est sinusoïdal.
   Un diapason peut émettre un son pur.

1. a) Le prisme permet de décomposer la lumière.
   b) Le réseau est l’autre dispositif pour décomposer la lumière.
2. Le spectre est un spectre d’émission de raies : il y a des traits colorés entourés de noir.
3. Ce n’est pas un spectre de lumière monochromatique car il y a plusieurs raies, donc plusieurs radiations de différentes longueurs d’onde : c’est le spectre d’une lumière polychromatique.
4. Rayonnement 1 :
   \(200\,\text{nm} \leftrightarrow 9{,}0\,\text{cm}\)
   \(x_1 \leftrightarrow 3{,}1\,\text{cm}\)
   \[ x_1 = \frac{200\,\text{nm} \times 3{,}1\,\text{cm}}{9{,}0\,\text{cm}} = 69\,\text{nm} \]
   \[ \lambda_1 = 500\,\text{nm} + x_1 = 500\,\text{nm} + 69\,\text{nm} = 569\,\text{nm} \]
   
   Rayonnement 2 :
   \(200\,\text{nm} \leftrightarrow 9{,}0\,\text{cm}\)
   \(x_2 \leftrightarrow 4{,}0\,\text{cm}\)
   \[ x_2 = \frac{200\,\text{nm} \times 4{,}0\,\text{cm}}{9{,}0\,\text{cm}} = 89\,\text{nm} \]
   \[ \lambda_2 = 500\,\text{nm} + x_2 = 500\,\text{nm} + 89\,\text{nm} = 589\,\text{nm} \]
5. Aux incertitudes près, l’élément chimique est le sodium (Na).

4. \( 0{,}7\,\text{cm} \leftrightarrow 10\,\text{cm} \) (en réel)
   \( 5{,}4\,\text{cm} \leftrightarrow OA' \)
   Donc :
   \[ \overline{OA'} = + \frac{5{,}4\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}}{0{,}7\,\text{cm}} = +77\,\text{cm} \]
5. \[ \overline{A'B'} = 3 \times (-10\,\text{cm}) = -30\,\text{cm} \]
6. L’image \( A'B' \) est renversée par rapport à l’objet \( AB \).
7. \[ \gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{+77\,\text{cm}}{-50\,\text{cm}} = -1{,}5 \] OU
   \[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{-30\,\text{cm}}{20\,\text{cm}} = -1{,}5 \]

1. a- Loi des mailles : Dans toute maille fermée, la somme algébrique des tensions est nulle : \[ \sum \text{tensions} = 0 \]
   
   b- Les trois relations correctes à entourer sont : \[ E - U = 0 \]
   \[ E - U_1 - U_2 = 0 \]
   \[ U_1 + U_2 - U = 0 \]
   
   
2. Tension \(U\) aux bornes de \(R\).
   À partir d'une des relations établies dans la question 1.b- :
   \(\, E - U = 0\) : \[ U = E = 5,0 \;\text{V} \]
   
   
3. Intensité \(i'\) dans \(R\).
   Loi d’Ohm :
   \( i' = \frac{U}{R} \)
   \( i' = \frac{5,0 \, \text{V}}{100 \, \Omega} \)
   \( i' = 0,050 \; \text{A} \)
   \( i' = 50 \; \text{mA} \)
   
   
   
4. Intensité \(i''\) dans \(R_1\).
   Loi des nœuds : À un nœud, la somme des intensités des courants arrivant à ce nœud est égale à la somme des intensités des courants partant de ce nœud.
   \( i = i' + i'' \)
   \( i'' = i - i' \)
   \( i'' = 0,150 - 0,050 \)
   \( i'' = 0,100 \;\text{A} \)
   \( i'' = 100 \;\text{mA} \)
   
   
   
5. Tension \(U_1\) aux bornes de \(R_1\).
   Loi d’Ohm :
   \( U_1 = R_1 \times i'' \)
   \( U_1 = 20 \times 0,100 \)
   \( U_1 = 2,0 \;\text{V} \)
   
   
   
6. Tension \(U_2\) aux bornes de \(R_2\).
   À partir d'une des relations établies dans la question 1.b- :
   \( U_1 + U_2 - U = 0 \)
   \(U_2 = U - U_1 \)
   \(U_2 = 5,0 - 2,0 \)
   \( U_2 = 3,0 \;\text{V}\)
   
   
   
7. Résistance \(R_2\).
   Loi d’Ohm :
   \(R_2 = \frac{U_2}{i''} \)
   \(R_2 = \frac{3,0}{0,100} \)
   \(R_2 = 30 \;\Omega \)
   
   
   
8. Mesure de \(i'\) avec un ampèremètre.
   Un ampèremètre se branche en série avec le dipôle traversé par le courant dont on veut mesurer l'intensité.
   Ici, i' passant dans la résistance \(R\), il faut brancher l’ampèremètre en série avec \(R\), l'insérer dans la branche contenant \(R\), avant \(R\), ou après \(R\).
   Le courant dont on veut mesurer l'intensité (ici, i') doit rentrer par la borne A de l'ampèremètre et sortir par la borne COM. (Voir schéma en fin de correction.)
   
   
9. Mesure de \(U_2\) avec un voltmètre.
   Un voltmètre se branche en parallèle avec le dipôle dont on veut mesurer la tension aux bornes.
   Ici, \(U_2\) étant la tension aux bornes de \(R_2\), il faut brancher le voltmètre en parallèle avec \(R_2\).
   La borne V est branchée à la borne de \(R_2\) reliée à la borne + du générateur et la borne COM à l'autre borne de \(R_2\).(Voir schéma en fin de correction.)
   
   

Exercice 24 — Correction

1. Nom du graphe :
   « Tension \( U \) en fonction de l’intensité \( I \) »   (i.e. \( U = f(I) \)).
   
   
2. Type de courbe :
   Les points sont alignés. Le nuage de points forme une droite passant par l’origine.
   
   
3. Nature de la relation entre \( U \) et \( I \) :
   U et I sont proportionnelles.
   On a donc : \(\, U \,=\, a \times I \)
   où a est le coefficient de proportionnalité
   ou coefficient directeur de la droite.
   
   
4. Équation de la courbe tracée :
   De façon générale, l'équation d'une droite s’écrit:
   \(U \,=\, a \times I \,+\, b \)
   où a est le coefficient directeur de la droite,
   et b, l'ordonnée à l'origine.
   
   Ici, la droite passant par 0,
   \( b \approx 0 \)
   L'équation devient donc :
   \(U \;=\; a \times I \)
   avec le coefficient directeur \(\, a \;=\; \frac{\Delta U}{\Delta I}\)
   
   \(a \,=\, \frac{U_2 - U_1}{\,I_2 - I_1\,}\)
   où \((I_1,U_1)\) et \((I_2,U_2)\) sont les coordonnées de deux points SUR la droite (loin l’un de l’autre).
   
   Soient les points :
   A (\( I_1 = 0\,\text{A}, \, U_1 = 0\,\text{V} \))
   B (\( I_2 = 100\,\text{mA}, \, U_2 = 10\,\text{V} \))
   On a :
   \( a \,=\, \frac{(10-0)\,\text{V}}{\bigl(100 \times 10^{-3} - 0\bigr)\,\text{A}} \)
   \(a \,=\, 100 \,\Omega\)
   Remarque : \(\Omega\) est équivalent à \(\text{V.A}^{-1}\)
   donc L'équation de la courbe tracée est :
   \(U \,=\, 100 \times I \)
   
   
   
5. Loi d’Ohm et détermination de \( R \) :
   La loi d’Ohm donne :
   \(U \,=\, R \times I\)
   Or l'équation de la droite précédemment obtenue est :
   \(U \,=\, 100 \times I \)
   Par comparaison des deux expressions, on en déduit que :
   \(R \,=\, 100 \, \Omega \)

   ---